公開コンペを非公開にすることは可能ですか？

できません。デザイナーは自分の提出したデザインが公開されること（そして99designsのポートフォリオに加えられること）を了承してコンペに参加します。もしデザインが提出された後にこれを変更すれば、デザイナーのコミュニティで不公平になります。